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# 第6章 运算方法
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> 📖 本章介绍计算机中数据的表示方法和算术运算，是课程的重点和难点。
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> 🎯 重点理解补码运算和浮点数表示
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## 📋 本章目录
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- [[#6.1 无符号数和有符号数]]
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- [[#6.2 定点数]]
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- [[#6.3 浮点数]]
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- [[#6.4 定点运算]]
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- [[#6.5 浮点运算]]
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- [[#本章小结]]
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## 6.1 无符号数和有符号数
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### 6.1.1 无符号数
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> [!info] 定义
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> 没有符号的数，所有位都表示数值。
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**表示范围**（n位）：
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$$0 \sim 2^n - 1$$
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> [!example] 示例
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> 16位无符号数：0 ~ 65535
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### 6.1.2 有符号数
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#### 机器数与真值
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| 概念 | 定义 | 示例 |
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|------|------|------|
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| **真值** | 带正负号的数 | +1100, -1100 |
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| **机器数** | 符号数字化的数 | 0,1100, 1,1100 |
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**符号编码**：
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- 0 表示正数
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- 1 表示负数
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#### 1. 原码表示法
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> [!info] 定义
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> 符号位 + 数值的绝对值
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**整数原码**：
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$$[x]_{原} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^n - x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}$$
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**小数原码**：
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$$[x]_{原} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 1 - x & 0 \geq x > -1 \end{cases}$$
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> [!example] 示例
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> - x = +1110 → [x]原 = 0,1110
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> - x = -1110 → [x]原 = 1,1110
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> - x = +0.1101 → [x]原 = 0.1101
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> - x = -0.1101 → [x]原 = 1.1101
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**零的表示**：
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- [+0]原 = 0.0000
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- [-0]原 = 1.0000
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**特点**：
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- 表示简单，易于转换
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- 加减运算复杂
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- 零有两种表示
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#### 2. 补码表示法
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> [!important] 核心思想
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> 用正数代替负数，将减法转换为加法。
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**补数的概念**（时钟例子）：
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- 时钟模为12
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- -3 ≡ +9 (mod 12)
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- 9 - 5 = 9 + 7 = 16 ≡ 4 (mod 12)
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**整数补码**：
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$$[x]_{补} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n \end{cases}$$
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**小数补码**：
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$$[x]_{补} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 2 + x & 0 > x \geq -1 \end{cases}$$
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> [!example] 示例
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> - x = +1010 → [x]补 = 0,1010
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> - x = -1010 → [x]补 = 2^5 + (-1010) = 100000 - 1010 = 1,0110
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> - x = +0.1001 → [x]补 = 0.1001
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> - x = -0.1001 → [x]补 = 2 + (-0.1001) = 1.0111
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**零的表示**：
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- [+0]补 = [-0]补 = 0.0000（唯一表示）
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**补码范围**（n位整数）：
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$$-2^n \sim +(2^n - 1)$$
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> [!warning] 特殊值
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> 8位补码：-128的补码为10000000，没有对应的原码
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#### 3. 反码表示法
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**整数反码**：
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$$[x]_{反} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ (2^{n+1}-1) + x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}$$
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**小数反码**：
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$$[x]_{反} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ (2-2^{-n}) + x & 0 \geq x > -1 \end{cases}$$
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> [!example] 示例
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> - x = +1101 → [x]反 = 0,1101
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> - x = -1101 → [x]反 = 1,0010
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**零的表示**：
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- [+0]反 = 0.0000
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- [-0]反 = 1.1111
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#### 4. 移码表示法
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> [!info] 定义
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> 移码 = 补码符号位取反
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**用途**：便于比较大小（移码大的真值大）
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**整数移码**：
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$$[x]_{移} = 2^n + x \quad (-2^n \leq x < 2^n)$$
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> [!example] 示例
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> - x = +1010 → [x]移 = 1,1010
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> - x = -1010 → [x]移 = 0,0110
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#### 四种编码对比
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| 编码 | 符号位 | 零的表示 | 范围 | 运算 |
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|------|--------|----------|------|------|
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| 原码 | 0正1负 | 两种 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | 复杂 |
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| 补码 | 0正1负 | 唯一 | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ | 简单 |
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| 反码 | 0正1负 | 两种 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | 较复杂 |
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| 移码 | 1正0负 | 唯一 | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ | 便于比较 |
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**转换关系**：
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- 正数：原码 = 反码 = 补码
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- 负数：补码 = 反码 + 1
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## 6.2 定点数
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### 6.2.1 定点表示
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> [!info] 定义
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> 小数点位置固定的数
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**两种形式**：
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```mermaid
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graph LR
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subgraph "定点整数"
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A1[符号位] --> B1[数值部分] --> C1[小数点在最后]
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end
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subgraph "定点小数"
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A2[符号位] --> B2[小数点] --> C2[数值部分]
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||
end
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```
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**表示范围**：
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| 类型 | 原码范围 | 补码范围 |
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|------|----------|----------|
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| 定点整数 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ |
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| 定点小数 | $-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})$ | $-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})$ |
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## 6.3 浮点数
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### 6.3.1 浮点表示
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> [!info] 定义
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> 小数点位置可浮动的数，类似科学计数法。
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**表示形式**：
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$$N = S \times r^j$$
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- S：尾数（小数）
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- j：阶码（整数）
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- r：基数（通常为2）
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**存储格式**：
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```mermaid
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graph LR
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subgraph "浮点数格式"
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MS[阶符] --> E[阶码] --> M[数符] --> N[尾数]
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||
end
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```
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### 6.3.2 浮点数规格化
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> [!info] 目的
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> 提高精度，使尾数最高位为有效数字。
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**规格化条件**：
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- 原码：尾数最高位为1
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- 补码：尾数最高位与符号位相反
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**左规**：尾数左移，阶码减1
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**右规**：尾数右移，阶码加1
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> [!example] 示例
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> 非规格化：0.001011 × 2^5
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> 左规后：0.1011 × 2^2
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### 6.3.3 IEEE 754标准
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**单精度（32位）格式**：
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```mermaid
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graph LR
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subgraph "IEEE 754 单精度"
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S[符号位1位] --> E[阶码8位] --> M[尾数23位]
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||
end
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```
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**双精度（64位）格式**：
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```mermaid
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graph LR
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||
subgraph "IEEE 754 双精度"
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||
S[符号位1位] --> E[阶码11位] --> M[尾数52位]
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||
end
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```
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**特点**：
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- 隐含尾数最高位1
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- 阶码用移码表示（偏置值127或1023）
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- 尾数用原码表示
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**数值计算**：
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$$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$$
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> [!example] 示例
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> 单精度：S=0, E=10000010, M=10010000000000000000000
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> - 真值 = +1.1001 × 2^(130-127) = +1.1001 × 2^3 = +1100.1 = +12.5
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### 6.3.4 浮点数范围
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| 类型 | 最小正数 | 最大正数 | 溢出条件 |
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|------|----------|----------|----------|
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| 规格化 | $2^{-1} \times 2^{-2^{k-1}}$ | $(1-2^{-n}) \times 2^{2^{k-1}-1}$ | 阶码溢出 |
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## 6.4 定点运算
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### 6.4.1 移位运算
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#### 算术移位
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| 编码 | 左移 | 右移 |
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|------|------|------|
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| 原码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补0 |
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| 补码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补符号位 |
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| 反码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补符号位 |
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#### 逻辑移位
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- 逻辑左移：高位移出，低位补0
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- 逻辑右移：低位移出，高位补0
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### 6.4.2 补码加减运算
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> [!important] 核心公式
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> $$[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}$$
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> $$[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}$$
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**溢出判断**：
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| 方法 | 条件 | 说明 |
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|------|------|------|
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| 单符号位 | 符号位进位与最高位进位异或 | 结果为1则溢出 |
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| 双符号位 | 两个符号位不同 | 01正溢，10负溢 |
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| 变形补码 | 双符号位 | 同上 |
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> [!example] 示例
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> 8位补码：x = +100, y = +100
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> - [x]补 = 0,01100100
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> - [y]补 = 0,01100100
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> - [x+y]补 = 0,11001000（+200）
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> - 结果正确，无溢出
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### 6.4.3 乘法运算
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#### 原码一位乘法
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**算法**：
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1. 符号位单独处理（异或）
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2. 数值部分相乘
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3. 部分累加
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**流程**：
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```mermaid
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graph TB
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A[初始化] --> B{乘数末位}
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B -->|1| C[加被乘数]
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B -->|0| D[加0]
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C --> E[右移部分积]
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D --> E
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E --> F{n次?}
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F -->|否| B
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F -->|是| G[得到乘积]
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```
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#### 补码一位乘法（Booth算法）
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**特点**：
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- 符号位参与运算
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- 最后一步不移位
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- 根据乘数末两位决定操作
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**操作规则**：
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| 乘数末两位 | 操作 |
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|------------|------|
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| 00 | 部分积右移 |
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| 01 | 加[x]补，右移 |
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| 10 | 加[-x]补，右移 |
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| 11 | 部分积右移 |
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### 6.4.4 除法运算
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#### 原码一位除法（恢复余数法）
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**算法**：
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1. 符号位单独处理
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2. 被除数减除数
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3. 若够减，商1；不够减，商0，恢复余数
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4. 左移，重复
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#### 加减交替法（不恢复余数法）
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**特点**：
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- 不恢复余数
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- 根据余数符号决定下一步操作
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**操作规则**：
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| 余数符号 | 操作 | 商 |
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|----------|------|-----|
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| 正 | 左移，减除数 | 1 |
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| 负 | 左移，加除数 | 0 |
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## 6.5 浮点运算
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### 6.5.1 浮点加减运算
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**步骤**：
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```mermaid
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graph TB
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A[对阶] --> B[尾数运算]
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B --> C[规格化]
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C --> D[舍入处理]
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D --> E[溢出判断]
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```
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#### 1. 对阶
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**目的**：使两个操作数的阶码相同
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**方法**：小阶向大阶看齐，小阶尾数右移
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> [!example] 示例
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> x = 0.1101 × 2^3, y = 0.1011 × 2^1
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> - 对阶：y = 0.001011 × 2^3
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> - 尾数运算：0.1101 + 0.001011 = 0.111111
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> - 结果：0.111111 × 2^3
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#### 2. 尾数运算
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- 按定点加减运算规则
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- 使用双符号位
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#### 3. 规格化
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- 左规：尾数左移，阶码减1
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- 右规：尾数右移，阶码加1
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#### 4. 舍入处理
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| 方法 | 规则 | 特点 |
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|------|------|------|
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| 0舍1入 | 移出位为1则入 | 误差小 |
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| 恒置1 | 右移后末位置1 | 简单 |
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#### 5. 溢出判断
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- **上溢**：阶码大于最大值，溢出中断
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- **下溢**：阶码小于最小值，置0
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### 6.5.2 浮点乘除运算
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**乘法**：
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$$N_1 \times N_2 = (S_1 \times S_2) \times r^{j_1+j_2}$$
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**除法**：
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$$N_1 / N_2 = (S_1 / S_2) \times r^{j_1-j_2}$$
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**步骤**：
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1. 阶码加/减
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2. 尾数乘/除
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3. 规格化
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4. 溢出判断
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## 📝 本章小结
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### 核心概念
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1. **数据表示**：原码、补码、反码、移码
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2. **定点数**：小数点位置固定
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3. **浮点数**：小数点位置可变，类似科学计数法
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4. **运算方法**：移位、加减、乘除
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### 关键公式
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- **补码加法**：$[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}$
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- **补码减法**：$[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}$
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- **浮点数**：$N = S \times r^j$
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- **IEEE 754**：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$
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### 重点图示
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> [!summary] 必须掌握的内容
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> 1. 四种编码方式的转换关系
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> 2. 补码加减运算及溢出判断
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> 3. 浮点数加减运算步骤
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> 4. IEEE 754标准格式
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## 🧪 自测练习
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### 概念题
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1. 比较原码、补码、反码的特点。
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2. 说明浮点数规格化的目的和方法。
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3. 解释IEEE 754标准的格式。
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### 计算题
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1. 将十进制数转换为补码表示。
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2. 进行补码加减运算并判断溢出。
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||
3. 进行浮点数加减运算。
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### 分析题
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1. 说明Booth算法的原理和步骤。
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2. 设计一个浮点加法器的数据通路。
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## 🔗 相关链接
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- [[05_输入输出系统]] - 上一章
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- [[07_指令系统]] - 下一章
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- [[08_CPU结构与功能]] - 运算器实现
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||
- [[04_存储器]] - 数据存储
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||
*本章难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 困难*
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*重要程度：⭐⭐⭐⭐⭐ 核心重点* |