obsidian/计算机组成原理/学习笔记/06_运算方法.md

第6章 运算方法

📖 本章介绍计算机中数据的表示方法和算术运算，是课程的重点和难点。 🎯 重点理解补码运算和浮点数表示

---

📋 本章目录

• #6.1 无符号数和有符号数
• #6.2 定点数
• #6.3 浮点数
• #6.4 定点运算
• #6.5 浮点运算
• #本章小结

---

6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

[!info] 定义 没有符号的数，所有位都表示数值。

表示范围（n位）：

0 \sim 2^n - 1

[!example] 示例 16位无符号数：0 ~ 65535

6.1.2 有符号数

机器数与真值

概念	定义	示例
真值	带正负号的数	+1100, -1100
机器数	符号数字化的数	0,1100, 1,1100

符号编码：

• 0 表示正数
• 1 表示负数

1. 原码表示法

[!info] 定义 符号位 + 数值的绝对值

整数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^n - x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

小数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 1 - x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1110 → [x]原 = 0,1110
• x = -1110 → [x]原 = 1,1110
• x = +0.1101 → [x]原 = 0.1101
• x = -0.1101 → [x]原 = 1.1101

零的表示：

• [+0]原 = 0.0000
• [-0]原 = 1.0000

特点：

• 表示简单，易于转换
• 加减运算复杂
• 零有两种表示

2. 补码表示法

[!important] 核心思想 用正数代替负数，将减法转换为加法。

补数的概念（时钟例子）：

• 时钟模为12
• -3 ≡ +9 (mod 12)
• 9 - 5 = 9 + 7 = 16 ≡ 4 (mod 12)

整数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n \end{cases}

小数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 2 + x & 0 > x \geq -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1010 → [x]补 = 0,1010
• x = -1010 → [x]补 = 2^5 + (-1010) = 100000 - 1010 = 1,0110
• x = +0.1001 → [x]补 = 0.1001
• x = -0.1001 → [x]补 = 2 + (-0.1001) = 1.0111

零的表示：

• [+0]补 = [-0]补 = 0.0000（唯一表示）

补码范围（n位整数）：

-2^n \sim +(2^n - 1)

[!warning] 特殊值 8位补码：-128的补码为10000000，没有对应的原码

3. 反码表示法

整数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ (2^{n+1}-1) + x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

小数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ (2-2^{-n}) + x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1101 → [x]反 = 0,1101
• x = -1101 → [x]反 = 1,0010

零的表示：

• [+0]反 = 0.0000
• [-0]反 = 1.1111

4. 移码表示法

[!info] 定义 移码 = 补码符号位取反

用途：便于比较大小（移码大的真值大）

整数移码：

[x]_{移} = 2^n + x \quad (-2^n \leq x < 2^n)

[!example] 示例

• x = +1010 → [x]移 = 1,1010
• x = -1010 → [x]移 = 0,0110

四种编码对比

编码	符号位	零的表示	范围	运算
原码	0正1负	两种	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	复杂
补码	0正1负	唯一	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)	简单
反码	0正1负	两种	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	较复杂
移码	1正0负	唯一	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)	便于比较

转换关系：

• 正数：原码 = 反码 = 补码
• 负数：补码 = 反码 + 1

---

6.2 定点数

6.2.1 定点表示

[!info] 定义 小数点位置固定的数

两种形式：

graph LR
    subgraph "定点整数"
        A1[符号位] --> B1[数值部分] --> C1[小数点在最后]
    end

    subgraph "定点小数"
        A2[符号位] --> B2[小数点] --> C2[数值部分]
    end

表示范围：

类型	原码范围	补码范围
定点整数	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)
定点小数	-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})	-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})

---

6.3 浮点数

6.3.1 浮点表示

[!info] 定义 小数点位置可浮动的数，类似科学计数法。

表示形式：

N = S \times r^j

• S：尾数（小数）
• j：阶码（整数）
• r：基数（通常为2）

存储格式：

graph LR
    subgraph "浮点数格式"
        MS[阶符] --> E[阶码] --> M[数符] --> N[尾数]
    end

6.3.2 浮点数规格化

[!info] 目的 提高精度，使尾数最高位为有效数字。

规格化条件：

• 原码：尾数最高位为1
• 补码：尾数最高位与符号位相反

左规：尾数左移，阶码减1 右规：尾数右移，阶码加1

[!example] 示例 非规格化：0.001011 × 2^5 左规后：0.1011 × 2^2

6.3.3 IEEE 754标准

单精度（32位）格式：

graph LR
    subgraph "IEEE 754 单精度"
        S[符号位1位] --> E[阶码8位] --> M[尾数23位]
    end

双精度（64位）格式：

graph LR
    subgraph "IEEE 754 双精度"
        S[符号位1位] --> E[阶码11位] --> M[尾数52位]
    end

特点：

• 隐含尾数最高位1
• 阶码用移码表示（偏置值127或1023）
• 尾数用原码表示

数值计算：

N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}

[!example] 示例 单精度：S=0, E=10000010, M=10010000000000000000000

• 真值 = +1.1001 × 2^(130-127) = +1.1001 × 2^3 = +1100.1 = +12.5

6.3.4 浮点数范围

类型	最小正数	最大正数	溢出条件
规格化	2^{-1} \times 2^{-2^{k-1}}	(1-2^{-n}) \times 2^{2^{k-1}-1}	阶码溢出

---

6.4 定点运算

6.4.1 移位运算

算术移位

编码	左移	右移
原码	数值左移，右补0	数值右移，左补0
补码	数值左移，右补0	数值右移，左补符号位
反码	数值左移，右补0	数值右移，左补符号位

逻辑移位

• 逻辑左移：高位移出，低位补0
• 逻辑右移：低位移出，高位补0

6.4.2 补码加减运算

[!important] 核心公式

[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补} [x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}

溢出判断：

方法	条件	说明
单符号位	符号位进位与最高位进位异或	结果为1则溢出
双符号位	两个符号位不同	01正溢，10负溢
变形补码	双符号位	同上

[!example] 示例 8位补码：x = +100, y = +100

• 补 = 0,01100100
• [y]补 = 0,01100100
• [x+y]补 = 0,11001000（+200）
• 结果正确，无溢出

6.4.3 乘法运算

原码一位乘法

算法：

1. 符号位单独处理（异或）
2. 数值部分相乘
3. 部分累加

流程：

graph TB
    A[初始化] --> B{乘数末位}
    B -->|1| C[加被乘数]
    B -->|0| D[加0]
    C --> E[右移部分积]
    D --> E
    E --> F{n次?}
    F -->|否| B
    F -->|是| G[得到乘积]

补码一位乘法（Booth算法）

特点：

• 符号位参与运算
• 最后一步不移位
• 根据乘数末两位决定操作

操作规则：

乘数末两位	操作
00	部分积右移
01	加[x]补，右移
10	加[-x]补，右移
11	部分积右移

6.4.4 除法运算

原码一位除法（恢复余数法）

算法：

1. 符号位单独处理
2. 被除数减除数
3. 若够减，商1；不够减，商0，恢复余数
4. 左移，重复

加减交替法（不恢复余数法）

特点：

• 不恢复余数
• 根据余数符号决定下一步操作

操作规则：

余数符号	操作	商
正	左移，减除数	1
负	左移，加除数	0

---

6.5 浮点运算

6.5.1 浮点加减运算

步骤：

graph TB
    A[对阶] --> B[尾数运算]
    B --> C[规格化]
    C --> D[舍入处理]
    D --> E[溢出判断]

1. 对阶

目的：使两个操作数的阶码相同

方法：小阶向大阶看齐，小阶尾数右移

[!example] 示例 x = 0.1101 × 2^3, y = 0.1011 × 2^1

• 对阶：y = 0.001011 × 2^3
• 尾数运算：0.1101 + 0.001011 = 0.111111
• 结果：0.111111 × 2^3

2. 尾数运算

• 按定点加减运算规则
• 使用双符号位

3. 规格化

• 左规：尾数左移，阶码减1
• 右规：尾数右移，阶码加1

4. 舍入处理

方法	规则	特点
0舍1入	移出位为1则入	误差小
恒置1	右移后末位置1	简单

5. 溢出判断

• 上溢：阶码大于最大值，溢出中断
• 下溢：阶码小于最小值，置0

6.5.2 浮点乘除运算

乘法：

N_1 \times N_2 = (S_1 \times S_2) \times r^{j_1+j_2}

除法：

N_1 / N_2 = (S_1 / S_2) \times r^{j_1-j_2}

步骤：

1. 阶码加/减
2. 尾数乘/除
3. 规格化
4. 溢出判断

---

📝 本章小结

核心概念

1. 数据表示：原码、补码、反码、移码
2. 定点数：小数点位置固定
3. 浮点数：小数点位置可变，类似科学计数法
4. 运算方法：移位、加减、乘除

关键公式

• 补码加法：[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}
• 补码减法：[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}
• 浮点数：N = S \times r^j
• IEEE 754：N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}

重点图示

[!summary] 必须掌握的内容

1. 四种编码方式的转换关系
2. 补码加减运算及溢出判断
3. 浮点数加减运算步骤
4. IEEE 754标准格式

---

🧪 自测练习

概念题

1. 比较原码、补码、反码的特点。
2. 说明浮点数规格化的目的和方法。
3. 解释IEEE 754标准的格式。

计算题

1. 将十进制数转换为补码表示。
2. 进行补码加减运算并判断溢出。
3. 进行浮点数加减运算。

分析题

1. 说明Booth算法的原理和步骤。
2. 设计一个浮点加法器的数据通路。

---

🔗 相关链接

• 05_输入输出系统 - 上一章
• 07_指令系统 - 下一章
• 08_CPU结构与功能 - 运算器实现
• 04_存储器 - 数据存储

---

本章难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 困难 重要程度：⭐⭐⭐⭐⭐ 核心重点