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第6章 运算方法

📖 本章介绍计算机中数据的表示方法和算术运算，是课程的重点和难点。 🎯 重点理解补码运算和浮点数表示

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📋 本章目录

• #6.1 无符号数和有符号数
• #6.2 定点数
• #6.3 浮点数
• #6.4 定点运算
• #6.5 浮点运算
• #本章小结
• #例题与解析

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6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

[!info] 定义 没有符号的数，所有位都表示数值。

表示范围（n位）：

0 \sim 2^n - 1

[!example] 示例 16位无符号数：0 ~ 65535

无符号数就像你钱包里的钱，只有正数没有负数，范围从0到最大值。内存地址、数组索引、颜色值通常用无符号数表示。

6.1.2 有符号数

机器数与真值

概念	定义	示例
真值	带正负号的数	+1100, -1100
机器数	符号数字化的数	0,1100, 1,1100

符号编码：

• 0 表示正数
• 1 表示负数

真值用"+"和"-"表示正负，人容易理解但计算机不好处理；机器数用0和1表示正负，计算机容易处理但人不好理解。就像温度计用"+"和"-"表示零上和零下。

1. 原码表示法

[!info] 定义 符号位 + 数值的绝对值

整数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^n - x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

小数原码：

[x]_{原} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 1 - x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1110 → [x]原 = 0,1110
• x = -1110 → [x]原 = 1,1110
• x = +0.1101 → [x]原 = 0.1101
• x = -0.1101 → [x]原 = 1.1101

零的表示：

• [+0]原 = 0.0000
• [-0]原 = 1.0000

特点：表示简单易于转换，但加减运算复杂，零有两种表示。

原码用0表示正数1表示负数，后面跟着数值的绝对值。表示简单容易理解，但加减运算需要考虑符号，零有两种表示（+0和-0）。就像温度计用"+"和"-"表示零上和零下。

2. 补码表示法

[!important] 核心思想 用正数代替负数，将减法转换为加法。

补数的概念（时钟例子）：

• 时钟模为12
• -3 ≡ +9 (mod 12)
• 9 - 5 = 9 + 7 = 16 ≡ 4 (mod 12)

整数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n \end{cases}

小数补码：

[x]_{补} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 2 + x & 0 > x \geq -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1010 → [x]补 = 0,1010
• x = -1010 → [x]补 = 2^5 + (-1010) = 100000 - 1010 = 1,0110
• x = +0.1001 → [x]补 = 0.1001
• x = -0.1001 → [x]补 = 2 + (-0.1001) = 1.0111

零的表示：[+0]补 = [-0]补 = 0.0000（唯一表示）

补码范围（n位整数）：-2^n \sim +(2^n - 1)

[!warning] 特殊值 8位补码：-128的补码为10000000，没有对应的原码

补码可以用时钟来理解：时钟模为12，-3小时相当于+9小时（因为-3+12=9）。补码就是用正数代替负数，将减法转换为加法。正数直接用原码表示，负数用模减去绝对值。

比如8位二进制：-10的补码是256-10=246=11110110。补码的优点是加减运算简单不需要考虑符号，零只有一种表示，范围比原码大1。缺点是表示不直观需要转换。所有整数运算都用补码。

3. 反码表示法

整数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ (2^{n+1}-1) + x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}

小数反码：

[x]_{反} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ (2-2^{-n}) + x & 0 \geq x > -1 \end{cases}

[!example] 示例

• x = +1101 → [x]反 = 0,1101
• x = -1101 → [x]反 = 1,0010

零的表示：

• [+0]反 = 0.0000
• [-0]反 = 1.1111

反码是补码减1，正数和原码相同，负数是原码除符号位外取反。是计算补码的中间步骤，某些旧计算机使用反码。

4. 移码表示法

[!info] 定义 移码 = 补码符号位取反

用途：便于比较大小（移码大的真值大）

整数移码：

[x]_{移} = 2^n + x \quad (-2^n \leq x < 2^n)

[!example] 示例

• x = +1010 → [x]移 = 1,1010
• x = -1010 → [x]移 = 0,0110

移码把所有数都加上一个偏移量变成正数，便于比较大小。偏移量是128（8位移码），-128变成0，0变成128，+127变成255。浮点数的阶码通常用移码表示。

四种编码对比

编码	符号位	零的表示	范围	运算
原码	0正1负	两种	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	复杂
补码	0正1负	唯一	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)	简单
反码	0正1负	两种	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	较复杂
移码	1正0负	唯一	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)	便于比较

转换关系：正数原码=反码=补码，负数补码=反码+1。

原码直接用符号位和绝对值，简单直观但运算复杂零有两种表示；补码用正数代替负数，运算简单零只有一种表示但表示不直观；反码是补码减1，是计算补码的中间步骤；移码补码符号位取反，便于比较大小。

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6.2 定点数

6.2.1 定点表示

[!info] 定义 小数点位置固定的数

两种形式：

graph LR
    subgraph "定点整数"
        A1[符号位] --> B1[数值部分] --> C1[小数点在最后]
    end

    subgraph "定点小数"
        A2[符号位] --> B2[小数点] --> C2[数值部分]
    end

表示范围：

类型	原码范围	补码范围
定点整数	-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)	-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)
定点小数	-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})	-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})

定点数用固定刻度的尺子：定点整数小数点在最后只表示整数，比如1010表示10；定点小数小数点在符号位后面只表示小数，比如0.1010表示0.625。

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6.3 浮点数

6.3.1 浮点表示

[!info] 定义 小数点位置可浮动的数，类似科学计数法。

表示形式：

N = S \times r^j

• S：尾数（小数）
• j：阶码（整数）
• r：基数（通常为2）

存储格式：

graph LR
    subgraph "浮点数格式"
        MS[阶符] --> E[阶码] --> M[数符] --> N[尾数]
    end

浮点数就像科学计数法，把一个数表示成尾数乘以2的阶码次方。比如101.1=1.011×2²，可以表示很大或很小的数。

6.3.2 浮点数规格化

规格化目的：提高精度，使尾数的最高位为1。

规格化方法：

• 左规：尾数左移，阶码减1
• 右规：尾数右移，阶码加1

规格化前0.001011×2³尾数前面有0精度低，规格化后1.011×2⁰尾数最高位为1精度高。

6.3.3 IEEE 754标准

单精度浮点数（32位）：符号位1位，阶码8位（移码表示），尾数23位 双精度浮点数（64位）：符号位1位，阶码11位（移码表示），尾数52位

IEEE 754标准是浮点数的"国家标准"：单精度32位精度较低但速度快，用于大多数图形处理和科学计算；双精度64位精度高但速度慢，用于高精度科学计算和金融计算。

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6.4 定点运算

6.4.1 移位运算

算术移位：左移相当于乘以2，右移相当于除以2 逻辑移位：左移高位移出低位补0，右移低位移出高位补0

算术移位像移动小数点，左移小数点向右移动数值变大，右移小数点向左移动数值变小。逻辑移位所有位向左或向右移动。1010左移1位变成10100（10→20）。

6.4.2 加减运算

补码加减运算：加法直接相加，减法减数变补码后相加

溢出判断：正溢出两个正数相加结果为负，负溢出两个负数相加结果为正

补码加减运算像时钟运算：9+7=16≡4(mod 12)，9-5=9+7=16≡4(mod 12)。127+1=-128（8位补码溢出）。

6.4.3 乘法运算

原码乘法：符号位单独处理，数值部分相乘 补码乘法：直接用补码相乘

乘法运算像重复加法：10×13=130，-6×-3=18。

6.4.4 除法运算

原码除法：符号位单独处理，数值部分相除 补码除法：直接用补码相除

除法运算像重复减法：10÷2=5，-6÷2=-3。

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6.5 浮点运算

6.5.1 浮点加减运算

步骤：

1. 对阶：使两个数的阶码相同
2. 尾数运算：对阶后进行尾数加减
3. 规格化：结果规格化
4. 舍入：处理精度问题
5. 溢出判断：检查阶码是否溢出

浮点加减运算像科学计数法加减：对阶使两个数的阶码相同，小阶向大阶看齐；尾数运算对阶后进行尾数加减；规格化使结果符合规格化要求；舍入处理精度问题；溢出判断检查阶码是否溢出。

1.01×2²+1.10×2¹：对阶变成1.01×2²+0.110×2²，尾数运算1.01+0.110=10.00，规格化10.00×2²=1.00×2³=8。

6.5.2 浮点乘除运算

乘法：阶码相加，尾数相乘，规格化 除法：阶码相减，尾数相除，规格化

浮点乘除运算像科学计数法乘除：10²×10³=10⁵，1.2×3.4=4.08，1.2×10²×3.4×10³=4.08×10⁵。

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📝 本章小结

核心概念

1. 数据表示：原码、补码、反码、移码
2. 定点数：小数点位置固定
3. 浮点数：小数点位置可浮动
4. 定点运算：移位、加减、乘除
5. 浮点运算：对阶、尾数运算、规格化

关键术语

术语	英文	含义
原码	Sign-Magnitude	符号位+绝对值
补码	Two's Complement	用正数代替负数
反码	One's Complement	补码减1
移码	Excess Code	补码符号位取反
浮点数	Floating Point	小数点位置可浮动

重点图示

[!summary] 必须掌握的图

1. 四种编码的转换关系
2. 定点数和浮点数的表示
3. 浮点数加减运算流程
4. IEEE 754标准格式

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🧪 例题与解析

例题1：补码计算

题目：计算8位补码的表示范围，并求-5的补码。

答案：

8位补码范围：-2⁷=-128到2⁷-1=127，即-128~127。 -5的补码：5的二进制00000101，取反11111010，加1得11111011。

这就像一个8位的时钟，范围-128到127，-5的补码是时钟倒退5小时。

例题2：浮点数表示

题目：将十进制数-0.75表示为IEEE 754单精度浮点数。

答案：

0.75=0.11(二进制)，-0.75=-0.11，规格化-1.1×2⁻¹。 符号位1（负数），阶码-1+127=126=01111110，尾数10000000000000000000000。 完整表示：1 01111110 10000000000000000000000。

例题3：补码加法

题目：用补码计算 5 + (-3)。

答案：

5的补码00000101，-3的补码11111101，相加：

  00000101
+ 11111101
-----------
1 00000010

补码结果00000010，真值+2。5+(-3)=2✓

例题4：浮点数加法

题目：计算 1.01 × 2² + 1.10 × 2¹。

答案：

对阶：1.10×2¹=0.110×2² 尾数运算：1.010+0.110=10.000 规格化：10.000×2²=1.000×2³=8 验证：1.01×2²=5，1.10×2¹=3，5+3=8✓

例题5：溢出判断

题目：判断8位补码运算 127 + 1 是否溢出。

答案：

127的补码01111111，1的补码00000001，相加得10000000。 两个正数相加结果为负数（10000000是-128的补码），发生正溢出。 真正结果128，实际结果-128，溢出。

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⚡ 知识点速记卡

考前快速过一遍，30秒回忆整章核心

四种编码速记：原码（符号+绝对值，零有两种）、补码（正代负，零唯一，运算最简单）、反码（补码-1，过渡用）、移码（补码符号取反，便于比较大小）。

正数：原码=反码=补码。负数：补码=反码+1。口诀：正数不变，负数取反加1。

补码范围（n位）：-2^(n-1) ~ +(2^(n-1)-1)。8位补码：-128~127。-128没有对应原码！

补码加减运算：加法直接加，减法变补码后加。溢出判断：两个正数相加得负数（正溢出），两个负数相加得正数（负溢出）。

定点数：小数点位置固定。定点整数（小数点在末尾）、定点小数（小数点在符号位后）。

浮点数 = 尾数 × 2^阶码，类似科学计数法。规格化：尾数最高位为1，左规尾数左移阶码减1，右规尾数右移阶码加1。

IEEE 754单精度（32位）：1位符号 + 8位阶码（移码，偏移127）+ 23位尾数。阶码全0和全1有特殊含义。

浮点加减五步：对阶（小阶向大阶看齐）→ 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断。

移位运算：算术左移=×2，算术右移=÷2。逻辑移位补0，算术移位保持符号位。

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