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--- a/计算机组成原理/学习笔记/06_运算方法.md
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+# 第6章 运算方法
+
+> 📖 本章介绍计算机中数据的表示方法和算术运算，是课程的重点和难点。
+> 🎯 重点理解补码运算和浮点数表示
+
+---
+
+## 📋 本章目录
+
+- [[#6.1 无符号数和有符号数]]
+- [[#6.2 定点数]]
+- [[#6.3 浮点数]]
+- [[#6.4 定点运算]]
+- [[#6.5 浮点运算]]
+- [[#本章小结]]
+
+---
+
+## 6.1 无符号数和有符号数
+
+### 6.1.1 无符号数
+
+> [!info] 定义
+> 没有符号的数，所有位都表示数值。
+
+**表示范围**（n位）：
+$$0 \sim 2^n - 1$$
+
+> [!example] 示例
+> 16位无符号数：0 ~ 65535
+
+### 6.1.2 有符号数
+
+#### 机器数与真值
+
+| 概念 | 定义 | 示例 |
+|------|------|------|
+| **真值** | 带正负号的数 | +1100, -1100 |
+| **机器数** | 符号数字化的数 | 0,1100, 1,1100 |
+
+**符号编码**：
+- 0 表示正数
+- 1 表示负数
+
+#### 1. 原码表示法
+
+> [!info] 定义
+> 符号位 + 数值的绝对值
+
+**整数原码**：
+$$[x]_{原} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^n - x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}$$
+
+**小数原码**：
+$$[x]_{原} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 1 - x & 0 \geq x > -1 \end{cases}$$
+
+> [!example] 示例
+> - x = +1110 → [x]原 = 0,1110
+> - x = -1110 → [x]原 = 1,1110
+> - x = +0.1101 → [x]原 = 0.1101
+> - x = -0.1101 → [x]原 = 1.1101
+
+**零的表示**：
+- [+0]原 = 0.0000
+- [-0]原 = 1.0000
+
+**特点**：
+- 表示简单，易于转换
+- 加减运算复杂
+- 零有两种表示
+
+#### 2. 补码表示法
+
+> [!important] 核心思想
+> 用正数代替负数，将减法转换为加法。
+
+**补数的概念**（时钟例子）：
+- 时钟模为12
+- -3 ≡ +9 (mod 12)
+- 9 - 5 = 9 + 7 = 16 ≡ 4 (mod 12)
+
+**整数补码**：
+$$[x]_{补} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ 2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n \end{cases}$$
+
+**小数补码**：
+$$[x]_{补} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ 2 + x & 0 > x \geq -1 \end{cases}$$
+
+> [!example] 示例
+> - x = +1010 → [x]补 = 0,1010
+> - x = -1010 → [x]补 = 2^5 + (-1010) = 100000 - 1010 = 1,0110
+> - x = +0.1001 → [x]补 = 0.1001
+> - x = -0.1001 → [x]补 = 2 + (-0.1001) = 1.0111
+
+**零的表示**：
+- [+0]补 = [-0]补 = 0.0000（唯一表示）
+
+**补码范围**（n位整数）：
+$$-2^n \sim +(2^n - 1)$$
+
+> [!warning] 特殊值
+> 8位补码：-128的补码为10000000，没有对应的原码
+
+#### 3. 反码表示法
+
+**整数反码**：
+$$[x]_{反} = \begin{cases} 0,x & 2^n > x \geq 0 \\ (2^{n+1}-1) + x & 0 \geq x > -2^n \end{cases}$$
+
+**小数反码**：
+$$[x]_{反} = \begin{cases} x & 1 > x \geq 0 \\ (2-2^{-n}) + x & 0 \geq x > -1 \end{cases}$$
+
+> [!example] 示例
+> - x = +1101 → [x]反 = 0,1101
+> - x = -1101 → [x]反 = 1,0010
+
+**零的表示**：
+- [+0]反 = 0.0000
+- [-0]反 = 1.1111
+
+#### 4. 移码表示法
+
+> [!info] 定义
+> 移码 = 补码符号位取反
+
+**用途**：便于比较大小（移码大的真值大）
+
+**整数移码**：
+$$[x]_{移} = 2^n + x \quad (-2^n \leq x < 2^n)$$
+
+> [!example] 示例
+> - x = +1010 → [x]移 = 1,1010
+> - x = -1010 → [x]移 = 0,0110
+
+#### 四种编码对比
+
+| 编码 | 符号位 | 零的表示 | 范围 | 运算 |
+|------|--------|----------|------|------|
+| 原码 | 0正1负 | 两种 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | 复杂 |
+| 补码 | 0正1负 | 唯一 | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ | 简单 |
+| 反码 | 0正1负 | 两种 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | 较复杂 |
+| 移码 | 1正0负 | 唯一 | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ | 便于比较 |
+
+**转换关系**：
+- 正数：原码 = 反码 = 补码
+- 负数：补码 = 反码 + 1
+
+---
+
+## 6.2 定点数
+
+### 6.2.1 定点表示
+
+> [!info] 定义
+> 小数点位置固定的数
+
+**两种形式**：
+
+```mermaid
+graph LR
+    subgraph "定点整数"
+        A1[符号位] --> B1[数值部分] --> C1[小数点在最后]
+    end
+
+    subgraph "定点小数"
+        A2[符号位] --> B2[小数点] --> C2[数值部分]
+    end
+```
+
+**表示范围**：
+
+| 类型 | 原码范围 | 补码范围 |
+|------|----------|----------|
+| 定点整数 | $-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$ | $-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$ |
+| 定点小数 | $-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})$ | $-1 \sim +(1-2^{-(n-1)})$ |
+
+---
+
+## 6.3 浮点数
+
+### 6.3.1 浮点表示
+
+> [!info] 定义
+> 小数点位置可浮动的数，类似科学计数法。
+
+**表示形式**：
+$$N = S \times r^j$$
+
+- S：尾数（小数）
+- j：阶码（整数）
+- r：基数（通常为2）
+
+**存储格式**：
+
+```mermaid
+graph LR
+    subgraph "浮点数格式"
+        MS[阶符] --> E[阶码] --> M[数符] --> N[尾数]
+    end
+```
+
+### 6.3.2 浮点数规格化
+
+> [!info] 目的
+> 提高精度，使尾数最高位为有效数字。
+
+**规格化条件**：
+- 原码：尾数最高位为1
+- 补码：尾数最高位与符号位相反
+
+**左规**：尾数左移，阶码减1
+**右规**：尾数右移，阶码加1
+
+> [!example] 示例
+> 非规格化：0.001011 × 2^5
+> 左规后：0.1011 × 2^2
+
+### 6.3.3 IEEE 754标准
+
+**单精度（32位）格式**：
+
+```mermaid
+graph LR
+    subgraph "IEEE 754 单精度"
+        S[符号位1位] --> E[阶码8位] --> M[尾数23位]
+    end
+```
+
+**双精度（64位）格式**：
+
+```mermaid
+graph LR
+    subgraph "IEEE 754 双精度"
+        S[符号位1位] --> E[阶码11位] --> M[尾数52位]
+    end
+```
+
+**特点**：
+- 隐含尾数最高位1
+- 阶码用移码表示（偏置值127或1023）
+- 尾数用原码表示
+
+**数值计算**：
+$$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$$
+
+> [!example] 示例
+> 单精度：S=0, E=10000010, M=10010000000000000000000
+> - 真值 = +1.1001 × 2^(130-127) = +1.1001 × 2^3 = +1100.1 = +12.5
+
+### 6.3.4 浮点数范围
+
+| 类型 | 最小正数 | 最大正数 | 溢出条件 |
+|------|----------|----------|----------|
+| 规格化 | $2^{-1} \times 2^{-2^{k-1}}$ | $(1-2^{-n}) \times 2^{2^{k-1}-1}$ | 阶码溢出 |
+
+---
+
+## 6.4 定点运算
+
+### 6.4.1 移位运算
+
+#### 算术移位
+
+| 编码 | 左移 | 右移 |
+|------|------|------|
+| 原码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补0 |
+| 补码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补符号位 |
+| 反码 | 数值左移，右补0 | 数值右移，左补符号位 |
+
+#### 逻辑移位
+
+- 逻辑左移：高位移出，低位补0
+- 逻辑右移：低位移出，高位补0
+
+### 6.4.2 补码加减运算
+
+> [!important] 核心公式
+> $$[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}$$
+> $$[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}$$
+
+**溢出判断**：
+
+| 方法 | 条件 | 说明 |
+|------|------|------|
+| 单符号位 | 符号位进位与最高位进位异或 | 结果为1则溢出 |
+| 双符号位 | 两个符号位不同 | 01正溢，10负溢 |
+| 变形补码 | 双符号位 | 同上 |
+
+> [!example] 示例
+> 8位补码：x = +100, y = +100
+> - [x]补 = 0,01100100
+> - [y]补 = 0,01100100
+> - [x+y]补 = 0,11001000（+200）
+> - 结果正确，无溢出
+
+### 6.4.3 乘法运算
+
+#### 原码一位乘法
+
+**算法**：
+1. 符号位单独处理（异或）
+2. 数值部分相乘
+3. 部分累加
+
+**流程**：
+```mermaid
+graph TB
+    A[初始化] --> B{乘数末位}
+    B -->|1| C[加被乘数]
+    B -->|0| D[加0]
+    C --> E[右移部分积]
+    D --> E
+    E --> F{n次?}
+    F -->|否| B
+    F -->|是| G[得到乘积]
+```
+
+#### 补码一位乘法（Booth算法）
+
+**特点**：
+- 符号位参与运算
+- 最后一步不移位
+- 根据乘数末两位决定操作
+
+**操作规则**：
+
+| 乘数末两位 | 操作 |
+|------------|------|
+| 00 | 部分积右移 |
+| 01 | 加[x]补，右移 |
+| 10 | 加[-x]补，右移 |
+| 11 | 部分积右移 |
+
+### 6.4.4 除法运算
+
+#### 原码一位除法（恢复余数法）
+
+**算法**：
+1. 符号位单独处理
+2. 被除数减除数
+3. 若够减，商1；不够减，商0，恢复余数
+4. 左移，重复
+
+#### 加减交替法（不恢复余数法）
+
+**特点**：
+- 不恢复余数
+- 根据余数符号决定下一步操作
+
+**操作规则**：
+
+| 余数符号 | 操作 | 商 |
+|----------|------|-----|
+| 正 | 左移，减除数 | 1 |
+| 负 | 左移，加除数 | 0 |
+
+---
+
+## 6.5 浮点运算
+
+### 6.5.1 浮点加减运算
+
+**步骤**：
+
+```mermaid
+graph TB
+    A[对阶] --> B[尾数运算]
+    B --> C[规格化]
+    C --> D[舍入处理]
+    D --> E[溢出判断]
+```
+
+#### 1. 对阶
+
+**目的**：使两个操作数的阶码相同
+
+**方法**：小阶向大阶看齐，小阶尾数右移
+
+> [!example] 示例
+> x = 0.1101 × 2^3, y = 0.1011 × 2^1
+> - 对阶：y = 0.001011 × 2^3
+> - 尾数运算：0.1101 + 0.001011 = 0.111111
+> - 结果：0.111111 × 2^3
+
+#### 2. 尾数运算
+
+- 按定点加减运算规则
+- 使用双符号位
+
+#### 3. 规格化
+
+- 左规：尾数左移，阶码减1
+- 右规：尾数右移，阶码加1
+
+#### 4. 舍入处理
+
+| 方法 | 规则 | 特点 |
+|------|------|------|
+| 0舍1入 | 移出位为1则入 | 误差小 |
+| 恒置1 | 右移后末位置1 | 简单 |
+
+#### 5. 溢出判断
+
+- **上溢**：阶码大于最大值，溢出中断
+- **下溢**：阶码小于最小值，置0
+
+### 6.5.2 浮点乘除运算
+
+**乘法**：
+$$N_1 \times N_2 = (S_1 \times S_2) \times r^{j_1+j_2}$$
+
+**除法**：
+$$N_1 / N_2 = (S_1 / S_2) \times r^{j_1-j_2}$$
+
+**步骤**：
+1. 阶码加/减
+2. 尾数乘/除
+3. 规格化
+4. 溢出判断
+
+---
+
+## 📝 本章小结
+
+### 核心概念
+
+1. **数据表示**：原码、补码、反码、移码
+2. **定点数**：小数点位置固定
+3. **浮点数**：小数点位置可变，类似科学计数法
+4. **运算方法**：移位、加减、乘除
+
+### 关键公式
+
+- **补码加法**：$[x+y]_{补} = [x]_{补} + [y]_{补}$
+- **补码减法**：$[x-y]_{补} = [x]_{补} + [-y]_{补}$
+- **浮点数**：$N = S \times r^j$
+- **IEEE 754**：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$
+
+### 重点图示
+
+> [!summary] 必须掌握的内容
+> 1. 四种编码方式的转换关系
+> 2. 补码加减运算及溢出判断
+> 3. 浮点数加减运算步骤
+> 4. IEEE 754标准格式
+
+---
+
+## 🧪 自测练习
+
+### 概念题
+
+1. 比较原码、补码、反码的特点。
+2. 说明浮点数规格化的目的和方法。
+3. 解释IEEE 754标准的格式。
+
+### 计算题
+
+1. 将十进制数转换为补码表示。
+2. 进行补码加减运算并判断溢出。
+3. 进行浮点数加减运算。
+
+### 分析题
+
+1. 说明Booth算法的原理和步骤。
+2. 设计一个浮点加法器的数据通路。
+
+---
+
+## 🔗 相关链接
+
+- [[05_输入输出系统]] - 上一章
+- [[07_指令系统]] - 下一章
+- [[08_CPU结构与功能]] - 运算器实现
+- [[04_存储器]] - 数据存储
+
+---
+
+*本章难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 困难*
+*重要程度：⭐⭐⭐⭐⭐ 核心重点*